1. 简介
背包问题是一个组合优化问题，有着广泛的应用，在本教程中，我们将用Java来解决这个问题。
2. 背包问题
在背包问题中，我们有一组物品，每件物品都有一个重量和一个价值：
我们想把这些物品放进背包，但是背包有重量限制：
因此我们需要选择总重量不超过重量限制的物品，并且它们的总价值尽可能高。例如，上述示例的最佳解决方案是选择5公斤和6公斤的物品，这样在重量限制范围内，总价值最高可达40美元。
背包问题有几种变体，在本教程中，我们将重点介绍0-1背包问题。在0-1背包问题中，每个物品要么被选中，要么被丢弃。我们不能只取走一件物品的部分数量，此外，我们也不能多次取走一件物品。
3. 数学定义
现在让我们用数学符号形式化地描述0-1背包问题，给定一组n个物品和重量限制W，我们可以将优化问题定义为：
该问题是NP-hard问题，目前没有多项式时间算法可以解决该问题，不过，存在一个基于动态规划的伪多项式时间算法。
4. 递归解决方案
我们可以使用递归公式来解决这个问题：
公式中，M(n,w)是重量限制为w的n个物品的最优解，它是以下两个值中的最大值：
- 从(n-1)个重量限制为w的物品中(不包括第n个物品)得出的最优解
- 第n个物品的价值加上(n-1)个物品的最优解以及w减去第n个物品的权重(包括第n个物品)
如果第n个物品的重量超过当前重量限制，则不包括该物品。因此，它属于上述两种情况的第一类。
我们可以用Java实现这个递归公式：
int knapsackRec(int[] w, int[] v, int n, int W) {
if (n <= 0) {
return 0;
} else if (w[n - 1] > W) {
return knapsackRec(w, v, n - 1, W);
} else {
return Math.max(knapsackRec(w, v, n - 1, W), v[n - 1]
+ knapsackRec(w, v, n - 1, W - w[n - 1]));
}
}
在每个递归步骤中，我们需要评估两个次优解，因此，该递归解决方案的运行时间为O(2n)。
5. 动态规划解决方案
动态规划是一种将原本难度呈指数级增长的规划问题线性化的策略，其核心思想是存储子问题的结果，这样我们就不必在之后重新计算它们。
我们也可以用动态规划来解决0-1背包问题；要使用动态规划，我们首先创建一个二维表，其维度从0到n和0到W。然后，我们使用自下而上的方法使用该表计算最优解：
int knapsackDP(int[] w, int[] v, int n, int W) {
if (n <= 0 || W <= 0) {
return 0;
}
int[][] m = new int[n + 1][W + 1];
for (int j = 0; j <= W; j++) {
m[0][j] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
if (w[i - 1] > j) {
m[i][j] = m[i - 1][j];
} else {
m[i][j] = Math.max(
m[i - 1][j],
m[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
}
}
}
return m[n][W];
}
在这个解决方案中，我们对物品数量n和重量限制W进行了嵌套循环。因此，它的运行时间为O(nW)。
6. 总结
在本教程中，我们展示了0-1背包问题的数学定义，然后我们用Java实现提供了该问题的递归解决方案；最后，我们使用动态规划来解决这个问题。
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