1. 概述
在本教程中，我们将探讨数组中反转计数的问题，这是计算机科学中用来衡量数组距离排序还有多远的概念。
我们将首先定义反转，并提供示例来说明其概念。然后，我们将深入探讨解决这个问题的两种主要方法。
首先，我们将实现一种暴力方法，检查每对可能的元素以找到反转。然后，我们将转向一种更高效的分治技术，该技术利用改进的合并排序算法来显著减少比较次数。
2. 数组中的反转是什么？
数组中的反转简单来说就是两个元素顺序颠倒的情况，具体来说，如果较低索引处的元素大于较高索引处的元素，就会发生反转。换句话说，假设我们有一个数组A，反转就是任意一对索引(i,j)，其中：
- i < j
- A[i] > A[j]
在已排序的数组中，由于每个元素都已正确放置，因此无需进行反转。但在未排序的数组中，反转的次数可以告诉我们数组的“无序”程度。反转次数越多，我们需要通过交换相邻元素来对数组进行排序的步骤就越多。
2.1 示例
我们来看一个简单的例子，假设我们有一个数组：
int[] array = {3, 1, 2};
在这个数组中，有两个反转：
- (3,1)，因为3出现在1之前，并且3 > 1
- (3,2)，因为3出现在2之前，并且3 > 2
3. 暴力破解方法
计算反转次数的暴力方法很简单，我们遍历数组中每一对可能的元素，检查它们是否形成反转。这种方法易于理解和实现，但它的时间复杂度为O(n^2)，对于较大的数组来说效率不高。
在这种方法中，我们使用嵌套循环遍历数组中的每个元素。对于每一对(i,j)，其中i < j，我们检查是否A[i] > A[j]。如果是，则我们发现了一个反转，并增加计数：
@Test
void givenArray_whenCountingInversions_thenReturnCorrectCount() {
int[] input = {3, 1, 2};
int expectedInversions = 2;
int actualInversions = countInversionsBruteForce(input);
assertEquals(expectedInversions, actualInversions);
}
int countInversionsBruteForce(int[] array) {
int inversionCount = 0;
for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < array.length; j++) {
if (array[i] > array[j]) {
inversionCount++;
}
}
}
return inversionCount;
}
这种暴力解决方案对于小型数组很有效，但随着数组大小的增加，其效率低下变得明显。
4. 优化方法：分治
分治法利用归并排序的原理，显著提高了计算逆序数的效率。我们不再逐一检查每一对元素，而是递归地将数组分成两半，直到每半部分都只有一个元素(或没有元素)。当我们将两半按排序顺序合并在一起时，我们计算左半部分元素大于右半部分元素的逆序数：
@Test
void givenArray_whenCountingInversionsWithOptimizedMethod_thenReturnCorrectCount() {
int[] inputArray = {3, 1, 2};
int expectedInversions = 2;
int actualInversions = countInversionsDivideAndConquer(inputArray);
assertEquals(expectedInversions, actualInversions);
}
接下来，我们定义countInversionsDivideAndConquer()方法，此方法作为算法的入口点，它检查输入数组是否有效，并将反转计数逻辑委托给另一个方法：
int countInversionsDivideAndConquer(int[] array) {
if (array == null || array.length <= 1) {
return 0;
}
return mergeSortAndCount(array, 0, array.length - 1);
}
该算法的核心逻辑在于mergeSortAndCount()方法，该方法将数组分成两半，递归处理每半，计算其中的反转次数，然后按排序顺序将它们合并在一起，同时计算两半之间发生的反转次数：
int mergeSortAndCount(int[] array, int left, int right) {
if (left >= right) {
return 0;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
int inversions = mergeSortAndCount(array, left, mid) + mergeSortAndCount(array, mid + 1, right);
inversions += mergeAndCount(array, left, mid, right);
return inversions;
}
最后，mergeAndCount()方法处理合并过程，它将数组的两个已排序的部分合并，并同时计算交叉反转次数(当左半部分的元素大于右半部分的元素时)。
mergeAndCount()方法的第一部分创建临时数组来保存要合并的数组的左半部分和右半部分：
int[] leftArray = new int[mid - left + 1];
int[] rightArray = new int[right - mid];
System.arraycopy(array, left, leftArray, 0, mid - left + 1);
System.arraycopy(array, mid + 1, rightArray, 0, right - mid);
System.arraycopy()有效地将元素从原始数组复制到临时数组中。
创建临时数组后，我们初始化用于遍历的指针和一个用于跟踪反转的变量。在下一部分中，我们将合并这两部分，同时计算交叉反转的次数：
int i = 0, j = 0, k = left, inversions = 0;
while (i < leftArray.length && j < rightArray.length) {
if (leftArray[i] <= rightArray[j]) {
array[k++] = leftArray[i++];
} else {
array[k++] = rightArray[j++];
inversions += leftArray.length - i;
}
}
我们将leftArray.length – i添加到inversions计数器，因为这些都是导致反转的元素。
处理完一个数组中的所有元素后，另一个数组中可能仍有剩余元素，这些元素将被复制到原始数组中：
while (i < leftArray.length) {
array[k++] = leftArray[i++];
}
while (j < rightArray.length) {
array[k++] = rightArray[j++];
}
return inversions;
这种优化使得算法实现了改进的O(n * log n)时间复杂度。
5. 比较
比较暴力破解和分治法时，关键区别在于它们的效率。暴力破解法会遍历数组中所有可能的对，检查每个对是否为反转，其时间复杂度为O(n^2)。这使得它对于大型数组效率低下，因为操作次数会随着数组大小的增加而迅速增长。
相比之下，分治法利用归并排序算法，在对数组进行排序的同时高效地计算逆序数。通过将数组分成两半，并计算两半内部和跨两半的逆序数，该方法实现了O(n * log n)的时间复杂度。这一显著的改进使其更适合处理更大的数据集，因为它能够随着输入规模的增加而高效扩展。
6. 总结
在本文中，我们探讨了如何计算数组中的逆序数。我们首先给出了逆序的清晰定义，并结合一个实际的例子进行了解释。然后，我们研究了两种解决这个问题的方法。第一种方法是简单的暴力破解法；第二种方法是使用归并排序，是一种更高效的分治法。暴力破解法易于实现，但对于大型数组效率较低。相比之下，分治法使用递归可以大大降低时间复杂度。
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